zhongzihao/non_standard_pell

再探非标准型佩尔方程

设有一佩尔方程 \(x^{2}-ny^{2}=k\)，利用 Brahmagupta’s identity 求解：\((a^{2}+nb^{2})(c^{2}+nd^{2})=(ac-nbd)^{2}+n(ad+bc)^{2}=(ac+nbd)^{2}+n(ad-bc)^{2}\)。

设 \((x_{1},y_{1})\) 是 \(x^{2}-ny^{2}=k\) 的最小解，\((x_{2},y_{2})\) 是 \(x^{2}-ny^{2}=1\) 的解，那么 \((x_{1}^{2}-ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+ny_{1}y_{2})^{2}-n(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}=(x_{1}x_{2}-ny_{1}y_{2})^{2}-n(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}=k\)。从而 \((x_{1}x_{2}+ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\) 和 \((x_{1}x_{2}-ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\) 都是原方程的解。

对于 \(ax^{2}-by^{2}=c\) 型的佩尔方程，改写成 \((ax)^{2}-aby^{2}=ac\) 的形式就可以了。